Упр.49.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.19. Докажите, что при любом натуральном a значение выражения a^14+13a^2 кратно 7.

Рассмотрим выражение по модулю $$7$$.

По малой теореме Ферма для любого целого $$a$$ имеем:

$$a^7 \equiv a \pmod{7}.$$

Тогда

$$a^{14}=(a^7)^2 \equiv a^2 \pmod{7}.$$

Следовательно,

$$a^{14}+13a^2 \equiv a^2+13a^2=14a^2 \pmod{7}.$$

Так как $$14a^2$$ делится на $$7$$, то

$$a^{14}+13a^2 \equiv 0 \pmod{7}.$$

Значит, выражение $$a^{14}+13a^2$$ кратно $$7$$ при любом натуральном $$a$$.

Ответ

$$a^{14}+13a^2$$ кратно $$7$$ при любом натуральном $$a$$.