Упр.49.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.18. Натуральные числа a, b и с таковы, что (a+b+c)?13. Докажите, что число a^13+b^13+c^13 также кратно 13.

Так как $$13$$ — простое число, то по малой теореме Ферма для любого целого числа $$x$$ выполняется сравнение

$$x^{13}\equiv x \pmod{13}.$$

Тогда

$$a^{13}\equiv a \pmod{13}, \quad b^{13}\equiv b \pmod{13}, \quad c^{13}\equiv c \pmod{13}.$$

Сложим эти сравнения:

$$a^{13}+b^{13}+c^{13}\equiv a+b+c \pmod{13}.$$

По условию $$a+b+c$$ кратно $$13$$, значит

$$a+b+c\equiv 0 \pmod{13}.$$

Следовательно,

$$a^{13}+b^{13}+c^{13}\equiv 0 \pmod{13},$$

то есть число $$a^{13}+b^{13}+c^{13}$$ также кратно $$13$$.

Ответ

$$a^{13}+b^{13}+c^{13}$$ кратно $$13$$.