Упр.49.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.17. Натуральные числа m, n и k таковы, что числа p=m+n, q=n+k и r=m+k являются простыми. Докажите, что одно из чисел р, q, r равно 2.

Рассмотрим числа

$$p=m+n,\quad q=n+k,\quad r=m+k.$$

Тогда их сумма равна

$$p+q+r=(m+n)+(n+k)+(m+k)=2(m+n+k).$$

Значит, число $$p+q+r$$ делится на 2.

Все простые числа, кроме $$2$$, нечётные. Если бы числа $$p,\ q,\ r$$ были нечётными, то их сумма была бы нечётной. Но сумма $$p+q+r$$ чётна, следовательно, среди чисел $$p,\ q,\ r$$ есть чётное простое число.

Единственное чётное простое число — это $$2$$. Значит, одно из чисел $$p,\ q,\ r$$ равно $$2$$.

Ответ

Одно из чисел $$p,\ q,\ r$$ равно $$2$$.