Упр.49.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.14. Найдите все простые числа p и q, удовлетворяющие уравнению q-p^2=2.

Подробный ответ

Из уравнения

$$q-p^2=2$$

получаем

$$q=p^2+2.$$

Так как $q$ — простое число, то $p^2+2$ тоже должно быть простым. Проверим возможные значения простого числа $p$.

Если $p=2$, то

$$q=2^2+2=6,$$

но $6$ — составное число.

Если $p$ — нечётное простое, то $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$ или $p^2 \equiv 0 \pmod{3}$ только при $p=3$. Чтобы число $p^2+2$ было простым, рассмотрим делимость на $3$:

$$p^2+2 \equiv 0 \pmod{3}$$

тогда число делится на $3$ и может быть простым только в случае, если оно равно $3$. Но

$$p^2+2=3 \Rightarrow p^2=1,$$

что невозможно для простого $p$.

Остаётся проверить $p=3$:

$$q=3^2+2=11,$$

а число $11$ — простое.