Упр.49.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите все простые числа $$p$$ и $$q$$, удовлетворяющие уравнению $$p^2-2q^2=1$$.

Из уравнения $$p^2-2q^2=1$$ получаем

$$p^2-1=2q^2.$$

Левая часть раскладывается на множители:

$$p^2-1=(p-1)(p+1).$$

Тогда

$$(p-1)(p+1)=2q^2.$$

Так как $$p$$ и $$q$$ — простые числа, то $$q=2$$, иначе правая часть была бы нечётной, а левая — чётной. Подставим $$q=2$$:

$$p^2-2\cdot 2^2=1,$$

$$p^2-8=1,$$

$$p^2=9,$$

$$p=3.$$

Проверка:

$$3^2-2\cdot 2^2=9-8=1.$$

Ответ

$$p=3,\ q=2.$$