Упр.49.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.13. Найдите все простые числа p и q, удовлетворяющие уравнению p^2-2q^2=1.

Рассмотрим уравнение $$p^2-2q^2=1.$$

Перепишем его так:

$$p^2-1=2q^2.$$

Так как $$p$$ и $$q$$ — простые числа, то $$p$$ не может быть равным $$2$$, иначе левая часть была бы чётной, а правая — нечётной. Значит, $$p$$ — нечётное простое число, и тогда $$p^2-1$$ делится на $$8$$.

Следовательно, число $$2q^2$$ тоже делится на $$8$$, значит, $$q^2$$ делится на $$4$$. Для простого числа это возможно только при $$q=2$$.

Подставим $$q=2$$ в уравнение:

$$p^2-2\cdot 2^2=1,$$

$$p^2-8=1,$$

$$p^2=9,$$

$$p=3.$$

Проверка:

$$3^2-2\cdot 2^2=9-8=1.$$

Ответ

$$p=3,\ q=2.$$