Упр.49.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.12. Числа p и p^2+2 — простые. Докажите, что число p^3+2 также простое.

Подробный ответ

Так как $$p$$ — простое число и $$p^2+2$$ тоже простое, рассмотрим возможные значения $$p$$.

Если $$p=2$$, то $$p^2+2=6$$, а это не простое число. Значит, $$p\neq 2$$.

Следовательно, простое число $$p$$ нечётное. Тогда $$p^2$$ тоже нечётно, и число

$$p^2+2$$

нечётно. Но простое нечётное число может быть только больше $$2$$, значит, это возможно.

Проверим остатки по модулю $$3$$. Если $$p\neq 3$$, то простое число $$p$$ не делится на $$3$$, значит, $$p\equiv 1 \pmod 3$$ или $$p\equiv 2 \pmod 3$$. В обоих случаях

$$p^2\equiv 1 \pmod 3,$$

поэтому

$$p^2+2\equiv 0 \pmod 3.$$

Тогда число $$p^2+2$$ делится на $$3$$. Чтобы оно было простым, должно быть

$$p^2+2=3,$$

но это невозможно. Значит, остаётся только случай $$p=3$$.

Тогда

$$p^3+2=3^3+2=27+2=29.$$

Число $$29$$ простое.