Упр.49.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.11. Числа p и 8p^2+1 — простые. Найдите p.

Так как число $$p$$ простое, то оно не может быть чётным, значит $$p$$ — нечётное. Тогда число $$8p^2+1$$ тоже нечётное.

Проверим возможные значения простого числа $$p$$.

Если $$p>3$$, то простое число $$p$$ имеет вид $$p=3k\pm1$$. Тогда

$$ 8p^2+1=8(3k\pm1)^2+1=8(9k^2\pm6k+1)+1=72k^2\pm48k+9. $$

Это число делится на $$3$$, значит при $$p>3$$ число $$8p^2+1$$ составное. Следовательно, такой случай невозможен.

Остаётся проверить $$p=3$$:

$$ 8p^2+1=8\cdot 3^2+1=8\cdot 9+1=73. $$

Число $$73$$ простое.

Значит, подходит только $$p=3$$.

Ответ

$$p=3$$