Упр.49.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 49.10. Целые числа m и n таковы, что значение выражения m^2-15mn+n^2 кратно 17. Докажите, что значение выражения m+n кратно 17.

Пусть

$$M=m^2-15mn+n^2.$$

По условию $$M$$ кратно $$17$$, то есть $$M:17$$.

Преобразуем выражение:

$$ M=m^2-15mn+n^2=(m^2+2mn+n^2)-17mn=(m+n)^2-17mn. $$

Так как $$17mn$$ кратно $$17$$, а $$M$$ тоже кратно $$17$$, то из равенства

$$ (m+n)^2=M+17mn $$

следует, что $$ (m+n)^2 $$ кратно $$17$$.

Поскольку $$17$$ — простое число, из делимости $$ (m+n)^2 $$ на $$17$$ следует делимость $$m+n$$ на $$17$$.

Значит, $$m+n$$ кратно $$17$$.

Ответ

$$m+n$$ кратно $$17$$.