Упр.48.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Существуют ли такие целые числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$, что:
1) $$a+b+c+a^2+b^2+c^2=1001$$;
2) $$a^3+b^3+c^3-a-b-c=1004$$?
1) Рассмотрим выражение
$$a+b+c+a^2+b^2+c^2=(a^2+a)+(b^2+b)+(c^2+c).$$
Для любого целого числа $$n$$ произведение $$n(n+1)$$ чётно, значит каждое из чисел $$a^2+a$$, $$b^2+b$$, $$c^2+c$$ делится на $$2$$. Следовательно, и их сумма делится на $$2$$.
Но $$1001$$ — нечётное число, значит равенство
$$a+b+c+a^2+b^2+c^2=1001$$
невозможно.
2) Запишем левую часть так:
$$a^3+b^3+c^3-a-b-c=(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c).$$
Для любого целого числа $$n$$
$$n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1).$$
Это произведение трёх последовательных целых чисел, а значит оно делится на $$6$$. Следовательно, каждое из чисел $$a^3-a$$, $$b^3-b$$, $$c^3-c$$ делится на $$6$$, и их сумма тоже делится на $$6$$.
Число $$1004$$ на $$6$$ не делится, поэтому равенство
$$a^3+b^3+c^3-a-b-c=1004$$
невозможно.
Ответ: в обоих случаях таких целых чисел не существует.
