Упр.48.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) a+b+c+a^2+b^2+c^2=1001; 2) a^3+b^3+c^3-a-b-c=1004?

Подробный ответ

1) Рассмотрим выражение

$$a+b+c+a^2+b^2+c^2=(a^2+a)+(b^2+b)+(c^2+c).$$

Для любого целого числа $$n$$ произведение $$n(n+1)$$ чётно, значит число $$n^2+n$$ делится на $$2$$. Следовательно, каждое из чисел $$a^2+a$$, $$b^2+b$$, $$c^2+c$$ делится на $$2$$, а значит и их сумма делится на $$2$$.

Но $$1001$$ на $$2$$ не делится. Противоречие.

Значит, таких целых чисел $$a, b, c$$ не существует.

2) Преобразуем левую часть:

$$a^3+b^3+c^3-a-b-c=(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c).$$

Для любого целого числа $$n$$

$$n^3-n=n(n-1)(n+1),$$

то есть произведение трёх последовательных целых чисел. Среди трёх последовательных чисел обязательно есть число, делящееся на $$3$$, и одно чётное, поэтому $$n^3-n$$ делится на $$6$$.

Следовательно, и сумма $$ (a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c) $$ делится на $$6$$.

Но $$1004$$ на $$6$$ не делится. Противоречие.

Значит, таких целых чисел $$a, b, c$$ не существует.