Упр.48.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) n^3+11n кратно 6; 2) (n^2-1)(n^2-2n) кратно 24.

1) Рассмотрим выражение

$$a=n^3+11n.$$

Преобразуем его:

$$a=n^3-n+12n=n(n^2-1)+12n=n(n-1)(n+1)+12n.$$

Произведение $$n(n-1)(n+1)$$ — это произведение трёх последовательных целых чисел, значит, одно из них делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Следовательно, $$n(n-1)(n+1)$$ кратно $$6$$. Число $$12n$$ тоже кратно $$6$$. Тогда и сумма кратна $$6$$:

$$n^3+11n \equiv 0 \pmod{6}.$$

2) Рассмотрим выражение

$$a=(n^2-1)(n^2-2n).$$

Разложим на множители:

$$a=(n-1)(n+1)\cdot n(n-2)=n(n-2)(n-1)(n+1).$$

Это произведение четырёх последовательных целых чисел с пропуском одного числа. Среди них обязательно есть два чётных множителя, один из которых делится на $$4$$, а также есть множитель, делящийся на $$3$$. Значит, произведение кратно $$24$$.

Можно записать и так:

$$n(n-2)(n-1)(n+1)\equiv 0 \pmod{24}.$$

Ответ

1) $$n^3+11n$$ кратно $$6$$ при любом $$n\in \mathbb{Z}$$.
2) $$(n^2-1)(n^2-2n)$$ кратно $$24$$ при любом $$n\in \mathbb{Z}$$.