Упр.48.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что при любом $$n\in\mathbb{Z}$$ значение выражения:

1. $$n^3+3n^2+2n$$ кратно 6;
2. $$n^4-n^2$$ кратно 12.

1) $$n^3+3n^2+2n=n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2).$$

Это произведение трёх последовательных целых чисел. Среди любых трёх последовательных чисел одно делится на $$3$$, а одно — на $$2$$, значит всё произведение делится на $$6$$.

Следовательно, $$n^3+3n^2+2n$$ кратно $$6$$ при любом целом $$n$$.

2) $$n^4-n^2=n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1).$$

Рассмотрим три последовательных числа $$n-1$$, $$n$$, $$n+1$$. Среди них одно делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Тогда произведение $$n^2(n-1)(n+1)$$ делится на $$4$$ и на $$3$$, значит делится на $$12$$.

Следовательно, $$n^4-n^2$$ кратно $$12$$ при любом целом $$n$$.

Ответ: оба выражения кратны соответственно $$6$$ и $$12$$ при любом $$n\in\mathbb{Z}$$.