Упр.48.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) n^3+3n^2+2n кратно 6; 2) n^4-n^2 кратно 12.

1) Преобразуем выражение:

$$n^3+3n^2+2n=n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2).$$

Это произведение трёх последовательных целых чисел. Среди любых трёх последовательных чисел одно делится на $$3$$, а одно — на $$2$$. Значит, всё произведение делится на $$6$$.

Следовательно, $$n^3+3n^2+2n$$ кратно $$6$$ при любом $$n\in \mathbb{Z}$$.

2) Преобразуем выражение:

$$n^4-n^2=n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1).$$

Среди трёх последовательных чисел $$n-1$$, $$n$$, $$n+1$$ одно делится на $$3$$, а среди чисел $$n-1$$ и $$n+1$$ одно чётное. Тогда произведение $$n^2(n-1)(n+1)$$ делится на $$3$$ и на $$4$$, значит, делится на $$12$$.

Следовательно, $$n^4-n^2$$ кратно $$12$$ при любом $$n\in \mathbb{Z}$$.

Ответ

1) $$n^3+3n^2+2n$$ кратно $$6$$; 2) $$n^4-n^2$$ кратно $$12$$.