Упр.48.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (4n+3)/(20n+23); 2) (12n+1)/(30n+2).

Докажем, что числитель и знаменатель каждой дроби взаимно просты, то есть их наибольший общий делитель равен $$1$$.

1. Рассмотрим дробь $$\frac{4n+3}{20n+23}.$$

   Найдём НОД числителя и знаменателя:

   $$\gcd(4n+3,\;20n+23)=\gcd(4n+3,\;20n+23-5(4n+3))$$
   $$=\gcd(4n+3,\;8).$$

   Так как $$4n+3$$ — нечётное число, а число $$8$$ чётное, общий делитель этих чисел может быть только $$1$$. Значит,

   $$\gcd(4n+3,\;20n+23)=1.$$

   Следовательно, дробь $$\frac{4n+3}{20n+23}$$ несократима.

2. Рассмотрим дробь $$\frac{12n+1}{30n+2}.$$

   Найдём НОД числителя и знаменателя:

   $$\gcd(12n+1,\;30n+2)=\gcd(12n+1,\;30n+2-2(12n+1))$$
   $$=\gcd(12n+1,\;6n).$$

   Теперь:

   $$\gcd(12n+1,\;6n)=\gcd(12n+1-2\cdot 6n,\;6n)=\gcd(1,\;6n)=1.$$

   Значит, дробь $$\frac{12n+1}{30n+2}$$ также несократима.

Ответ

1) $$\frac{4n+3}{20n+23}$$ — несократимая дробь; 2) $$\frac{12n+1}{30n+2}$$ — несократимая дробь.