Упр.48.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Чему может быть равным $$\operatorname{НОД}(a;b)$$, если:
   1) $$a=2n+1,\quad b=2n+3$$;
   2) $$a=2n+1,\quad b=8n+7$$?

1) $$\gcd(2n+1,\;2n+3)=\gcd(2n+1,\;(2n+3)-(2n+1))=\gcd(2n+1,\;2).$$

Число $$2n+1$$ нечётное, значит, на $$2$$ не делится. Следовательно, общий делитель этих чисел может быть только равен $$1$$.

Ответ: $$1$$.

2) $$\gcd(2n+1,\;8n+7)=\gcd(2n+1,\;(8n+7)-4(2n+1))=\gcd(2n+1,\;3).$$

Значит, НОД может быть делителем числа $$3$$. Так как $$2n+1$$ нечётное, возможны только значения $$1$$ и $$3$$.

Ответ: $$1$$ или $$3$$.