Упр.48.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что для любого $$n\in\mathbb{N}$$: 1) $$\text{НОД}(n; 2n+1)=1$$; 2) $$\text{НОД}(8n+4; 4n)=4$$.

1) Пусть $$d=\gcd(n,\,2n+1).$$ Тогда $$d\mid n$$ и $$d\mid(2n+1).$$

Из делимости на $$d$$ числа $$n$$ следует, что $$d\mid 2n.$$ Тогда $$d$$ делит разность:

$$(2n+1)-2n=1.$$

Значит, $$d\mid 1,$$ а потому $$d=1.$$ Следовательно,

$$\gcd(n,\,2n+1)=1.$$

2) Пусть $$d=\gcd(8n+4,\,4n).$$ Тогда $$d$$ делит и число $$8n+4-2\cdot 4n=4.$$ Значит, $$d\mid 4.$$

С другой стороны, $$4\mid(8n+4)$$ и $$4\mid 4n,$$ поэтому $$4$$ является общим делителем чисел $$8n+4$$ и $$4n.$$ Следовательно, наибольший общий делитель равен $$4$$:

$$\gcd(8n+4,\,4n)=4.$$

Ответ: $$\gcd(n,\,2n+1)=1,\quad \gcd(8n+4,\,4n)=4.$$