Упр.48.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) НОД(n; 2n+1)=1; 2) НОД(8n+4; 4n)=4.

1) Найдём общий делитель чисел $$n$$ и $$2n+1$$.

Если число $$d$$ делит и $$n$$, и $$2n+1$$, то оно делит и их линейную комбинацию:

$$2n+1-2n=1.$$

Значит, $$d$$ делит число $$1$$. Следовательно, $$d=1$$, то есть

$$\gcd(n;2n+1)=1.$$

2) Рассмотрим числа $$8n+4$$ и $$4n$$.

Заметим, что

$$8n+4=2\cdot 4n+4.$$

Пусть $$d$$ — их общий делитель. Тогда $$d$$ делит и $$4n$$, и $$8n+4$$, значит, делит их разность:

$$8n+4-2\cdot 4n=4.$$

Следовательно, $$d$$ делит число $$4$$. С другой стороны, оба числа $$8n+4$$ и $$4n$$ делятся на $$4$$, значит, их НОД не меньше $$4$$. Поэтому

$$\gcd(8n+4;4n)=4.$$

Ответ

$$\gcd(n;2n+1)=1,\qquad \gcd(8n+4;4n)=4.$$