Упр.48.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) НОД(n; n+1)=1; 2) НОД(2n; 2n+2)=2.

1) Найдём НОД чисел $$n$$ и $$n+1$$.

Так как числа $$n$$ и $$n+1$$ — соседние натуральные числа, то их разность равна $$1$$:

$$ (n+1)-n=1 $$

Любой общий делитель чисел $$n$$ и $$n+1$$ должен делить и их разность, то есть число $$1$$. Следовательно, общий делитель у них только один:

$$ \gcd(n,n+1)=1. $$

2) Найдём НОД чисел $$2n$$ и $$2n+2$$.

Вынесем общий множитель $$2$$:

$$ \gcd(2n,2n+2)=\gcd(2n,2(n+1))=2\gcd(n,n+1). $$

Из первого пункта $$\gcd(n,n+1)=1$$, значит

$$ \gcd(2n,2n+2)=2\cdot 1=2. $$

Ответ

$$\gcd(n,n+1)=1,\qquad \gcd(2n,2n+2)=2.$$