Упр.48.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что для любого $$n\in\mathbb{N}$$:

1. $$\mathrm{НОД}(n,n+1)=1$$;
2. $$\mathrm{НОД}(2n,2n+2)=2$$.

Пусть $$d=\gcd(n,n+1).$$ Тогда $$d\mid n$$ и $$d\mid (n+1).$$ Следовательно, $$d$$ делит их разность:

$$(n+1)-n=1.$$

Значит, $$d\mid 1,$$ откуда $$d=1.$$ Поэтому

$$\gcd(n,n+1)=1.$$

Теперь рассмотрим $$\gcd(2n,2n+2).$$ Обозначим его через $$d.$$ Тогда $$d\mid 2n$$ и $$d\mid (2n+2),$$ значит, $$d$$ делит разность:

$$(2n+2)-2n=2.$$

Следовательно, $$d\mid 2.$$ С другой стороны, число $$2$$ делит и $$2n,$$ и $$2n+2,$$ значит, $$2$$ является общим делителем этих чисел. Тогда наибольший общий делитель равен $$2$$:

$$\gcd(2n,2n+2)=2.$$

Ответ

$$\gcd(n,n+1)=1,\qquad \gcd(2n,2n+2)=2.$$