Упр.48 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=(1-cos(x))/(1+cos(x));
2) f(x)=x^3+cos(x);
3) f(x)=(x^2-1)ctg(x)/(x^2-1).

1. $$f(x)=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$

   Преобразуем функцию:

   $$\frac{1-\cos x}{1+\cos x}=\tg^2\frac{x}{2}$$

   Область определения: $$1+\cos x\ne 0$$, то есть $$x\ne \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

   Проверим чётность:

   $$f(-x)=\tg^2\frac{-x}{2}=\tg^2\frac{x}{2}=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

2. $$f(x)=x^3+\cos x$$

   Область определения: $$D(f)=\mathbb R.$$

   Найдём значение при $$-x$$:

   $$f(-x)=(-x)^3+\cos(-x)=-x^3+\cos x.$$

   Сравним:

   $$f(-x)\ne f(x), \qquad f(-x)\ne -f(x).$$

   Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной, то есть общего вида.

3. $$f(x)=\frac{(x^2-1)\ctg x}{x^2-1}$$

   Область определения: $$x^2-1\ne 0,\ x\ne \pm 1,\quad \ctg x \text{ определена при } x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

   На области определения можно сократить:

   $$f(x)=\ctg x.$$

   Тогда

   $$f(-x)=\ctg(-x)=-\ctg x=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

Ответ

1) чётная; 2) общего вида; 3) нечётная.