Упр.48.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 48.18. Три автомата печатают на карточках пары целых чисел. Каждый автомат, прочитав некоторую карточку, выдаёт новую карточку. Прочитав карточку с парой чисел (m; n), первый автомат выдаёт карточку с числами (m-n; n), второй — карточку с числами (m+n; n), третий — карточку с числами (n; m). Сначала есть карточка с парой чисел (46; 51). Можно ли, используя автоматы в некотором порядке, получить карточку с парой чисел (15; 33)?

Проверим, сохраняется ли при работе автоматов наибольший общий делитель пары чисел.

Для пары $$\left(m;n\right)$$:

• первый автомат заменяет её на $$\left(m-n;n\right)$$;
• второй — на $$\left(m+n;n\right)$$;
• третий — на $$\left(n;m\right)$$.

Во всех трёх случаях НОД не меняется:

$$\gcd(m-n,n)=\gcd(m,n),$$
$$\gcd(m+n,n)=\gcd(m,n),$$
$$\gcd(n,m)=\gcd(m,n).$$

Значит, при любых преобразованиях НОД пары чисел сохраняется.

Найдём НОД исходной и конечной пар:

$$\gcd(46,51)=\gcd(46,5)=1,$$
$$\gcd(15,33)=\gcd(15,3)=3.$$

Так как $$1 \ne 3,$$ получить из пары $$\left(46;51\right)$$ пару $$\left(15;33\right)$$ невозможно.

Ответ

Нельзя.