Упр.48.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 48.17. Найдите все пары натуральных чисел m и n таких, что НОК(m; n)-НОД(m; n)=mn/3.

Обозначим

$$x=\operatorname{НОК}(m;n), \qquad y=\operatorname{НОД}(m;n).$$

Тогда для натуральных чисел $$m$$ и $$n$$ выполняется

$$mn=xy.$$

По условию

$$x-y=\frac{mn}{3}=\frac{xy}{3}.$$

Умножим на $$3$$:

$$3x-3y=xy.$$

Выразим $$x$$:

$$x(3-y)=3y, \qquad x=\frac{3y}{3-y}.$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, то $$3-y>0$$, значит $$y<3$$. Возможны только два случая.

1) $$y=1$$.

Тогда

$$x=\frac{3\cdot 1}{3-1}=\frac{3}{2},$$

что не является натуральным числом. Этот случай не подходит.

2) $$y=2$$.

Тогда

$$x=\frac{3\cdot 2}{3-2}=6.$$

Теперь найдём $$m$$ и $$n$$. Пусть

$$m=2k,\qquad n=2p,$$

где $$\gcd(k,p)=1$$. Тогда

$$mn=4kp.$$

С другой стороны,

$$mn=xy=6\cdot 2=12.$$

Значит,

$$4kp=12,\qquad kp=3.$$

Так как $$k$$ и $$p$$ взаимно просты, получаем

$$k=1,\ p=3$$ или $$k=3,\ p=1.$$

Следовательно,

$$ (m,n)=(2,6) \quad \text{или} \quad (6,2). $$

Ответ

$$(2,6),\ (6,2).$$