Упр.48.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 48.16. Решите в натуральных числах уравнение x(y+1)^2=243y.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа. Тогда из уравнения

$$x(y+1)^2=243y$$

получаем

$$x=\frac{243y}{(y+1)^2}.$$

Так как $$\gcd(y,y+1)=1$$, то $$\gcd\bigl(y,(y+1)^2\bigr)=1$$. Значит, число $$\frac{243}{(y+1)^2}$$ должно быть натуральным, то есть

$$ (y+1)^2 \mid 243.$$

Разложим:

$$243=3^5.$$

Следовательно, возможны только значения

$$y+1=3 \quad \text{или} \quad y+1=9.$$

1) Если $$y+1=3$$, то $$y=2$$, и

$$x=\frac{243\cdot 2}{3^2}=\frac{486}{9}=54.$$

2) Если $$y+1=9$$, то $$y=8$$, и

$$x=\frac{243\cdot 8}{9^2}=\frac{1944}{81}=24.$$

Оба полученных значения подходят.

Ответ

$$(54; 2),\ (24; 8).$$