Упр.48.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 48.14. Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел в 16 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому.

Подробный ответ

Пусть $$d=\gcd(a,b).$$ Тогда можно записать

$$a=dm,\qquad b=dn,$$

где $$\gcd(m,n)=1.$$

Для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух натуральных чисел верно:

$$\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{ab}{\gcd(a,b)}=dmn.$$

По условию

$$\operatorname{lcm}(a,b)=16\cdot \gcd(a,b),$$

значит

$$dmn=16d,$$

откуда

$$mn=16=2^4.$$

Так как $$m$$ и $$n$$ взаимно просты, а их произведение равно степени двойки, то одно из чисел равно $$1$$, а другое равно $$16$$, либо одно равно $$2$$, а другое $$8$$, либо одно равно $$4$$, а другое $$4$$. Во всех случаях одно из чисел делится на другое.

Следовательно, одно из данных натуральных чисел кратно другому.