Упр.48.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Из 100 последовательных натуральных чисел выбрали 51 число. Докажите, что среди выбранных чисел есть такие числа $$a$$ и $$b$$, что $$\operatorname{НОД}(a;b)=1$$.

Рассмотрим 50 пар последовательных натуральных чисел:

$$(1,2),\ (3,4),\ (5,6),\ \ldots,\ (99,100).$$

В каждой такой паре числа взаимно просты, так как для любых последовательных натуральных чисел

$$\gcd(n,n+1)=1.$$

Если выбрать 51 число из 100, то по принципу Дирихле хотя бы в одной из этих 50 пар окажутся оба числа. Значит, среди выбранных чисел найдутся такие $$a$$ и $$b$$, что

$$\gcd(a,b)=1.$$

Ответ

Среди выбранных 51 числа обязательно найдутся два взаимно простых числа.