Упр.48.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 48.13. Из 100 последовательных натуральных чисел выбрали 51 число. Докажите, что среди выбранных чисел есть такие числа а и b, что НОД(a; b)=1.

Рассмотрим 100 последовательных натуральных чисел. Разобьём их на 50 пар соседних чисел:

$$ (1,2),\ (3,4),\ \ldots,\ (99,100). $$

В каждой такой паре два числа являются соседними, значит, их наибольший общий делитель равен 1:

$$ \gcd(n,\ n+1)=1. $$

Если бы среди выбранных 51 числа не нашлось ни одной пары соседних чисел, то из каждой из 50 пар можно было бы выбрать не более одного числа. Тогда всего можно было бы выбрать не более 50 чисел. Но по условию выбрано 51 число.

Следовательно, среди выбранных чисел обязательно найдутся два соседних числа $$a$$ и $$b$$. Для них

$$ \gcd(a,\ b)=1. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

Среди выбранных 51 числа обязательно найдутся два соседних числа, а значит, такие $$a$$ и $$b$$, что $$\gcd(a;\,b)=1$$.