Упр.48.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (n^3+5n)/6; 2) n(n+1)^2 (n+2)/12; 3) (n^2-1)(n^2+2n)/24.

Подробный ответ

1) Рассмотрим числитель:

$$n^3+5n=n^3-n+6n=n(n^2-1)+6n=n(n-1)(n+1)+6n.$$

Произведение $$n(n-1)(n+1)$$ — это произведение трёх последовательных целых чисел, значит, оно делится на $$6$$. Тогда и всё выражение $$n^3+5n$$ делится на $$6$$, следовательно,

$$\frac{n^3+5n}{6}$$

— целое число.

2) Рассмотрим числитель:

$$n(n+1)^2(n+2)=n(n+1)(n+1)(n+2).$$

Среди чисел $$n$$, $$n+1$$, $$n+2$$ есть два чётных множителя, а значит, произведение делится на $$4$$. Кроме того, среди трёх последовательных чисел одно делится на $$3$$. Следовательно, всё произведение делится на $$12$$, и число

$$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$$

— целое.

3) Преобразуем числитель:

$$\left(n^2-1\right)\left(n^2+2n\right)=(n-1)(n+1)\cdot n(n+2).$$

Это произведение четырёх последовательных целых чисел $$n-1,\; n,\; n+1,\; n+2$$. Среди них обязательно есть число, делящееся на $$4$$, и есть число, делящееся на $$3$$. Значит, произведение делится на $$24$$. Поэтому

$$\frac{(n^2-1)(n^2+2n)}{24}$$

— целое число.