Упр.47.37 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.37. Докажите, что для любого натурального числа n найдётся натуральное число, кратное n, в десятичной записи которого используются только цифры 1 и 0.

Рассмотрим числа

$$1,\ 11,\ 111,\ \ldots,\ \underbrace{11\ldots1}_{n+1\ \text{цифра}}.$$

Всего таких чисел $$n+1$$, а возможных остатков при делении на $$n$$ только $$n$$: $$0,1,2,\ldots,n-1$$.

Значит, либо одно из этих чисел делится на $$n$$, либо два разных числа дают одинаковый остаток при делении на $$n$$.

Если одно из чисел делится на $$n$$, то требуемое число найдено: оно состоит только из цифр $$1$$.

Если же два числа, например

$$\underbrace{11\ldots1}_{k\ \text{цифр}} \quad \text{и} \quad \underbrace{11\ldots1}_{m\ \text{цифр}}, \qquad k>m,$$

имеют одинаковые остатки при делении на $$n$$, то их разность делится на $$n$$:

$$\underbrace{11\ldots1}_{k\ \text{цифр}}-\underbrace{11\ldots1}_{m\ \text{цифр}}.$$

Эта разность в десятичной записи состоит только из цифр $$1$$ и $$0$$, например имеет вид

$$\underbrace{11\ldots1100\ldots0}_{k\ \text{цифр}}.$$

Следовательно, существует натуральное число, кратное $$n$$, в записи которого используются только цифры $$1$$ и $$0$$.

Ответ

Для любого натурального числа $$n$$ найдётся натуральное число, кратное $$n$$, в десятичной записи которого встречаются только цифры $$1$$ и $$0$$.