Упр.47.36 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.36. Докажите, что среди натуральных степеней числа 2 существуют две такие, что их разность кратна числу 1001.

Рассмотрим числа $$2,\,2^2,\,2^3,\,\ldots,\,2^{1002}.$$

При делении на $$1001$$ каждое из них даёт некоторый остаток. Возможных остатков всего $$1001$$: от $$0$$ до $$1000$$, а чисел у нас $$1002$$.

По принципу Дирихле среди этих $$1002$$ чисел найдутся хотя бы два, которые при делении на $$1001$$ дают одинаковые остатки. Пусть это числа $$2^m$$ и $$2^n$$, где $$m>n$$.

Тогда их разность делится на $$1001$$:

$$2^m-2^n \equiv 0 \pmod{1001}.$$

Значит, среди натуральных степеней числа $$2$$ существуют две такие, разность которых кратна числу $$1001$$.

Ответ

Да, существуют: среди чисел $$2,2^2,\ldots,2^{1002}$$ найдутся две степени числа $$2$$ с одинаковыми остатками при делении на $$1001$$, поэтому их разность кратна $$1001$$.