Упр.47.35 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.35. При делении натурального числа n на 9 остаток равен неполному частному, при делении n на 14 остаток также равен неполному частному. Найдите все возможные значения n.

Пусть при делении числа $$n$$ на $$9$$ неполное частное равно $$k$$. Тогда остаток тоже равен $$k$$, значит

$$n=9k+k=10k,$$

причём $$k<9$$, то есть $$k\le 8$$.

Аналогично, при делении $$n$$ на $$14$$ неполное частное равно $$p$$, а остаток тоже равен $$p$$. Тогда

$$n=14p+p=15p,$$

причём $$p<14$$, то есть $$p\le 13$$.

Так как оба выражения равны одному и тому же числу $$n$$, получаем

$$10k=15p,$$

откуда

$$2k=3p.$$

Следовательно, $$k$$ делится на $$3$$, а $$p$$ — на $$2$$. Пусть

$$k=3t,\quad p=2t.$$

Тогда

$$n=10k=30t.$$

Из условия $$k\le 8$$ получаем

$$3t\le 8 \Rightarrow t\le 2.$$

Так как $$n$$ — натуральное число и остаток не может быть равен нулю, берём $$t=1$$ и $$t=2$$.

Тогда

$$n=30 \quad \text{или} \quad n=60.$$

Ответ

$$30,\ 60$$