Упр.47.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.32. О числах m, n, p, q, r и s известно, что m^2+n^2+p^2+q^2+r^2=s^2. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел чётное.

Предположим противное: все числа $$m, n, p, q, r, s$$ нечётные.

Тогда квадраты нечётных чисел сравнимы с $$1$$ по модулю $$8$$:

$$m^2 \equiv n^2 \equiv p^2 \equiv q^2 \equiv r^2 \equiv s^2 \equiv 1 \pmod{8}.$$

Из условия имеем:

$$m^2+n^2+p^2+q^2+r^2=s^2.$$

Переходя по модулю $$8$$, получаем:

$$1+1+1+1+1 \equiv 1 \pmod{8},$$

то есть

$$5 \equiv 1 \pmod{8},$$

что невозможно, так как $$5-1=4$$ не делится на $$8$$.

Следовательно, наше предположение неверно. Значит, хотя бы одно из чисел $$m, n, p, q, r, s$$ чётное.

Ответ

Хотя бы одно из чисел $$m, n, p, q, r, s$$ чётное.