Упр.47.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.31. Докажите, что среди чисел вида 5^n+5^m (m и n — натуральные числа) нет ни одного квадрата натурального числа.

Пусть $$a=5^n+5^m,$$ где $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа. Так как $$5 \equiv 1 \pmod{4},$$ то для любого натурального показателя

$$5^n \equiv 1 \pmod{4}, \qquad 5^m \equiv 1 \pmod{4}.$$

Тогда

$$a=5^n+5^m \equiv 1+1 \equiv 2 \pmod{4}.$$

Но квадрат натурального числа при делении на $$4$$ может давать только остатки $$0$$ или $$1$$:

$$k^2 \equiv 0 \pmod{4} \quad \text{или} \quad k^2 \equiv 1 \pmod{4}.$$

Следовательно, число вида $$5^n+5^m$$ не может быть квадратом натурального числа, так как оно даёт остаток $$2$$ при делении на $$4$$.

Ответ

Среди чисел вида $$5^n+5^m$$, где $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа, нет ни одного квадрата натурального числа.