Упр.47.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.30. Докажите, что среди чисел вида 4^n+4^m (m и n — натуральные числа) нет ни одного квадрата натурального числа.

Пусть

$$a=4^n+4^m,$$

где $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа.

Так как $$4 \equiv 1 \pmod{3},$$ то

$$4^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{3}, \qquad 4^m \equiv 1^m \equiv 1 \pmod{3}.$$

Тогда

$$a=4^n+4^m \equiv 1+1 \equiv 2 \pmod{3}.$$

Но квадрат натурального числа по модулю $$3$$ может давать только остатки $$0$$ или $$1$$, так как

$$0^2 \equiv 0 \pmod{3}, \qquad 1^2 \equiv 1 \pmod{3}, \qquad 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}.$$

Следовательно, число, дающее остаток $$2$$ при делении на $$3$$, не может быть квадратом натурального числа.

Значит, среди чисел вида $$4^n+4^m$$ нет ни одного квадрата натурального числа.

Ответ

Числа вида $$4^n+4^m$$ не являются квадратами натуральных чисел.