Упр.47.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 17^n+25·4^n кратно 13; 3) 6^(2n)+3^(n+2)+3^n кратно 11;
2) 15^n+2^(3n)-30 кратно 7; 4) 2^(5n+3)+5^n·3^(n+2) кратно 17.

1. $$17^n+25\cdot 4^n \equiv 4^n+25\cdot 4^n = 26\cdot 4^n \equiv 0 \pmod{13}.$$

   Значит, $$17^n+25\cdot 4^n$$ кратно $$13$$.

2. $$15^n+2^{3n}-30 \equiv 1^n+8^n-30 = 1+1-30=-28 \equiv 0 \pmod{7}.$$

   Значит, $$15^n+2^{3n}-30$$ кратно $$7$$.

3. $$6^{2n}+3^{n+2}+3^n = 36^n+9\cdot 3^n+3^n.$$

   Так как $$36 \equiv 3 \pmod{11}$$, то

   $$36^n+9\cdot 3^n+3^n \equiv 3^n+9\cdot 3^n+3^n = 11\cdot 3^n \equiv 0 \pmod{11}.$$

   Значит, выражение кратно $$11$$.

4. $$2^{5n+3}+5^n\cdot 3^{n+2}=2^{5n}\cdot 8+5^n\cdot 3^n\cdot 9.$$

   По модулю $$17$$ имеем $$2^5=32 \equiv 15 \pmod{17}$$, значит

   $$2^{5n+3}+5^n\cdot 3^{n+2} \equiv 15^n\cdot 8+15^n\cdot 9 = 15^n\cdot 17 \equiv 0 \pmod{17}.$$

   Следовательно, выражение кратно $$17$$.

Ответ

1) кратно $$13$$; 2) кратно $$7$$; 3) кратно $$11$$; 4) кратно $$17$$.