Упр.47.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 3^(2n)+11·5^n кратно 4; 4) 3^(3n+2)+5·2^(3n+1) кратно 19;
2) 21^n+2^(2n+4) кратно17; 5) 5^n+8^n-2^(n+1) кратно 3;
3) 4·13^n+37^n+1 кратно 6; 6) 2^(n+5)·3^(4n)+5^(3n+1) кратно 37.

Подробный ответ

$$3^{2n}+11\cdot 5^n=9^n+11\cdot 5^n.$$
Так как $$9\equiv 1 \pmod 4$$ и $$5\equiv 1 \pmod 4,$$ то
$$9^n+11\cdot 5^n\equiv 1^n+11\cdot 1^n=12\equiv 0 \pmod 4.$$
Значит, выражение кратно $$4.$$
$$21^n+2^{2n+4}=21^n+16\cdot 2^{2n}=21^n+16\cdot 4^n.$$
Так как $$21\equiv 4 \pmod{17},$$ то
$$21^n+2^{2n+4}\equiv 4^n+16\cdot 4^n=17\cdot 4^n\equiv 0 \pmod{17}.$$
Значит, выражение кратно $$17.$$
$$4\cdot 13^n+37^n+1.$$
Так как $$13\equiv 1 \pmod 6$$ и $$37\equiv 1 \pmod 6,$$ то
$$4\cdot 13^n+37^n+1\equiv 4\cdot 1^n+1^n+1=6\equiv 0 \pmod 6.$$
Значит, выражение кратно $$6.$$
$$3^{3n+2}+5\cdot 2^{3n+1}=27^n\cdot 9+5\cdot 8^n\cdot 2.$$
Так как $$27\equiv 8 \pmod{19},$$ то
$$27^n\cdot 9+5\cdot 8^n\cdot 2\equiv 8^n\cdot 9+8^n\cdot 10=8^n\cdot 19\equiv 0 \pmod{19}.$$
Значит, выражение кратно $$19.$$
$$5^n+8^n-2^{n+1}=5^n+8^n-2\cdot 2^n.$$
Так как $$5\equiv 2 \pmod 3$$ и $$8\equiv 2 \pmod 3,$$ то
$$5^n+8^n-2^{n+1}\equiv 2^n+2^n-2\cdot 2^n=0 \pmod 3.$$
Значит, выражение кратно $$3.$$
$$2^{n+5}\cdot 3^{4n}+5^{3n+1}=2^n\cdot 32\cdot 81^n+5\cdot 125^n.$$
Так как $$81\equiv 7 \pmod{37},\quad 125\equiv 14 \pmod{37},\quad 32\equiv -5 \pmod{37},$$ то удобнее записать:
$$2^{n+5}\cdot 3^{4n}+5^{3n+1}=2^n\cdot 32\cdot 81^n+5\cdot 125^n\equiv 14^n\cdot 32+14^n\cdot 5=14^n\cdot 37\equiv 0 \pmod{37}.$$
Значит, выражение кратно $$37.$$