Упр.47.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.26. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения 3^n-1 делится нацело на 13.

Нужно найти такие натуральные значения $$n$$, при которых

$$3^n-1$$

делится нацело на $$13$$, то есть

$$3^n \equiv 1 \pmod{13}.$$

Рассмотрим степени числа $$3$$ по модулю $$13$$:

$$3^1 \equiv 3 \pmod{13},$$
$$3^2 \equiv 9 \pmod{13},$$
$$3^3 = 27 \equiv 1 \pmod{13}.$$

Значит, далее значения степеней повторяются с периодом $$3$$:

$$3^{3k} \equiv 1 \pmod{13},$$
$$3^{3k+1} \equiv 3 \pmod{13},$$
$$3^{3k+2} \equiv 9 \pmod{13}.$$

Следовательно, равенство $$3^n \equiv 1 \pmod{13}$$ выполняется тогда и только тогда, когда $$n$$ кратно $$3$$.

Ответ

$$n=3k,\ k\in \mathbb{N}.$$