Упр.47.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) a=5^99, b=3; 2) a=7^36, b=4; 3) a=3^70+2^52, b=5.

1. $$5^2=25=8\cdot 3+1,$$
   значит
   $$5^2\equiv 1 \pmod 3.$$
   Тогда
   $$5^{99}=5^{98}\cdot 5=(5^2)^{49}\cdot 5\equiv 1^{49}\cdot 2\equiv 2 \pmod 3.$$
   Остаток равен $$2$$.
2. $$7^2=49=12\cdot 4+1,$$
   значит
   $$7^2\equiv 1 \pmod 4.$$
   Тогда
   $$7^{36}=(7^2)^{18}\equiv 1^{18}\equiv 1 \pmod 4.$$
   Остаток равен $$1$$.
3. $$2^4=16=3\cdot 5+1,$$
   значит
   $$2^4\equiv 1 \pmod 5.$$
   Также
   $$3^4=81=16\cdot 5+1,$$
   значит
   $$3^4\equiv 1 \pmod 5.$$
   Тогда
   $$3^{70}=3^{68}\cdot 3^2=(3^4)^{17}\cdot 3^2\equiv 1^{17}\cdot 9\equiv 4 \pmod 5,$$
   $$2^{52}=(2^4)^{13}\equiv 1^{13}\equiv 1 \pmod 5.$$
   Следовательно,
   $$3^{70}+2^{52}\equiv 4+1\equiv 0 \pmod 5.$$
   Остаток равен $$0$$.

Ответ

1) $$2$$; 2) $$1$$; 3) $$0$$.