Упр.47.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) x^2-3y^2=17; 3) 8x^3+7y^3=38.
2) 9x^2-28y=15;
Рассмотрим уравнение $$x^2-3y^2=17.$$
Перепишем его так:
$$x^2=3y^2+17=3y^2+15+2=3(y^2+5)+2.$$
Число $$x^2$$ при делении на $$3$$ даёт остаток $$2$$, что невозможно, так как квадрат целого числа по модулю $$3$$ может давать только остатки $$0$$ или $$1$$.
Значит, целых решений нет.
Рассмотрим уравнение $$9x^2-28y=15.$$
Преобразуем его:
$$9x^2=28y+15.$$
Так как $$9x^2=(3x)^2,$$ получаем
$$ (3x)^2=4\cdot 7y+15=4\cdot 7y+12+3=4(7y+3)+3.$$
Следовательно, квадрат целого числа при делении на $$4$$ даёт остаток $$3$$, что невозможно: квадрат целого числа по модулю $$4$$ может быть только $$0$$ или $$1$$.
Целых решений нет.
Рассмотрим уравнение $$8x^3+7y^3=38.$$
Преобразуем:
$$8x^3=7(5-y^3)+3.$$
Так как $$8x^3=(2x)^3,$$ имеем
$$ (2x)^3=7(5-y^3)+3=7(-y^3)+35+3=7(-y^3+5)+3.$$
Значит, куб целого числа при делении на $$7$$ даёт остаток $$3$$. Но кубы целых чисел по модулю $$7$$ не могут давать остаток $$3$$ в такой записи, следовательно, целых решений нет.
Ответ
1) $$\varnothing$$; 2) $$\varnothing$$; 3) $$\varnothing$$.
