Упр.47.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Известно, что $$m^2+n^2\vdots 7$$. Докажите, что $$m^2+n^2\vdots 49$$.
Рассмотрим остатки квадратов по модулю $$7$$:
$$0^2 \equiv 0 \pmod 7,\quad 1^2 \equiv 1 \pmod 7,\quad 2^2 \equiv 4 \pmod 7,\quad 3^2 \equiv 2 \pmod 7,$$
$$4^2 \equiv 2 \pmod 7,\quad 5^2 \equiv 4 \pmod 7,\quad 6^2 \equiv 1 \pmod 7.$$
Значит, любой квадрат по модулю $$7$$ может давать только остатки $$0,1,2,4$$.
Пусть $$m^2+n^2 \equiv 0 \pmod 7$$. Тогда возможны только такие пары остатков:
$$0+0,\quad 1+6,\quad 2+5,\quad 4+3$$
Но среди квадратов по модулю $$7$$ остатки $$3,5,6$$ не встречаются, поэтому единственная возможность для суммы двух квадратов дать остаток $$0$$ по модулю $$7$$ — это
$$m^2 \equiv 0 \pmod 7,\quad n^2 \equiv 0 \pmod 7.$$
Следовательно,
$$m \equiv 0 \pmod 7,\quad n \equiv 0 \pmod 7.$$
Тогда $$m^2$$ и $$n^2$$ делятся на $$49$$, а значит, и их сумма делится на $$49$$:
$$m^2+n^2 \equiv 0 \pmod{49}.$$
Ответ: $$m^2+n^2$$ кратно $$49$$.
