Упр.47.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.21. Известно, что (m^2+n^2)?7. Докажите, что (m^2+n^2)?49.

Рассмотрим возможные остатки квадратов по модулю $$7$$:

$$ 0^2 \equiv 0 \pmod 7,\quad 1^2 \equiv 1 \pmod 7,\quad 2^2 \equiv 4 \pmod 7, $$
$$ 3^2 \equiv 2 \pmod 7,\quad 4^2 \equiv 2 \pmod 7,\quad 5^2 \equiv 4 \pmod 7,\quad 6^2 \equiv 1 \pmod 7. $$

Значит, любой квадрат по модулю $$7$$ может давать только остатки $$0, 1, 2, 4$$.

Пусть $$m^2+n^2 \equiv 0 \pmod 7$$. Тогда возможны только такие случаи:

$$ m^2 \equiv 0 \pmod 7,\quad n^2 \equiv 0 \pmod 7. $$

Следовательно,

$$ m \equiv 0 \pmod 7,\quad n \equiv 0 \pmod 7. $$

Тогда $$m^2$$ и $$n^2$$ делятся на $$49$$, а значит, и их сумма делится на $$49$$:

$$ m^2+n^2 \equiv 0 \pmod {49}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ m^2+n^2 \equiv 0 \pmod {49}. $$