Упр.47.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.20. Числа а и b таковы, что a^2+b^2?0(mod 3). Докажите, что a?0(mod 3) и b?0(mod 3).

Подробный ответ

Рассмотрим остатки чисел $$a$$ и $$b$$ при делении на $$3$$. Для любого целого числа возможны только остатки $$0$$, $$1$$ или $$2$$, а значит, квадраты по модулю $$3$$ могут давать только:

$$0^2 \equiv 0 \pmod 3,\quad 1^2 \equiv 1 \pmod 3,\quad 2^2 \equiv 1 \pmod 3.$$

Следовательно, каждое из чисел $$a^2$$ и $$b^2$$ сравнимо либо с $$0$$, либо с $$1$$ по модулю $$3$$.

Проверим возможные суммы:

если $$a^2 \equiv 0 \pmod 3$$ и $$b^2 \equiv 0 \pmod 3$$, то $$a^2+b^2 \equiv 0 \pmod 3$$;
если одно из чисел $$a^2, b^2$$ сравнимо с $$0$$, а другое с $$1$$, то $$a^2+b^2 \equiv 1 \pmod 3$$;
если $$a^2 \equiv 1 \pmod 3$$ и $$b^2 \equiv 1 \pmod 3$$, то $$a^2+b^2 \equiv 2 \pmod 3$$.

По условию $$a^2+b^2 \equiv 0 \pmod 3$$. Это возможно только в первом случае, значит,

$$a^2 \equiv 0 \pmod 3,\quad b^2 \equiv 0 \pmod 3.$$

Тогда $$a \equiv 0 \pmod 3$$ и $$b \equiv 0 \pmod 3$$.