Упр.47.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.19. Докажите, что значение выражения k^3 при делении на 9 даёт в остатке 0, 1 или 8.

Любое целое число $$k$$ при делении на $$9$$ даёт один из остатков $$0,1,2,3,4,5,6,7,8$$. Рассмотрим все возможные случаи:

$$ \begin{aligned} k &\equiv 0 \pmod 9 \Rightarrow k^3 \equiv 0^3 \equiv 0 \pmod 9,\\ k &\equiv 1 \pmod 9 \Rightarrow k^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod 9,\\ k &\equiv 2 \pmod 9 \Rightarrow k^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \pmod 9,\\ k &\equiv 3 \pmod 9 \Rightarrow k^3 \equiv 3^3 \equiv 27 \equiv 0 \pmod 9,\\ k &\equiv 4 \pmod 9 \Rightarrow k^3 \equiv 4^3 \equiv 64 \equiv 1 \pmod 9,\\ k &\equiv 5 \pmod 9 \Rightarrow k^3 \equiv 5^3 \equiv 125 \equiv 8 \pmod 9,\\ k &\equiv 6 \pmod 9 \Rightarrow k^3 \equiv 6^3 \equiv 216 \equiv 0 \pmod 9,\\ k &\equiv 7 \pmod 9 \Rightarrow k^3 \equiv 7^3 \equiv 343 \equiv 1 \pmod 9,\\ k &\equiv 8 \pmod 9 \Rightarrow k^3 \equiv 8^3 \equiv 512 \equiv 8 \pmod 9. \end{aligned} $$

Во всех случаях остаток от деления $$k^3$$ на $$9$$ равен только $$0$$, $$1$$ или $$8$$.

Ответ

При делении $$k^3$$ на $$9$$ возможны только остатки $$0$$, $$1$$ и $$8$$.