Упр.47.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.18. Докажите, что значение выражения m^3 при делении на 7 даёт в остатке 0, 1 или 6.

При делении целого числа $$m$$ на $$7$$ возможны остатки $$0,1,2,3,4,5,6$$. Рассмотрим все случаи:

$$ m \equiv 0 \pmod 7 \Rightarrow m^3 \equiv 0^3 \equiv 0 \pmod 7; $$
$$ m \equiv 1 \pmod 7 \Rightarrow m^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod 7; $$
$$ m \equiv 2 \pmod 7 \Rightarrow m^3 \equiv 2^3 = 8 \equiv 1 \pmod 7; $$
$$ m \equiv 3 \pmod 7 \Rightarrow m^3 \equiv 3^3 = 27 \equiv 6 \pmod 7; $$
$$ m \equiv 4 \pmod 7 \Rightarrow m^3 \equiv 4^3 = 64 \equiv 1 \pmod 7; $$
$$ m \equiv 5 \pmod 7 \Rightarrow m^3 \equiv 5^3 = 125 \equiv 6 \pmod 7; $$
$$ m \equiv 6 \pmod 7 \Rightarrow m^3 \equiv 6^3 = 216 \equiv 6 \pmod 7. $$

Во всех случаях остаток от деления $$m^3$$ на $$7$$ равен $$0$$, $$1$$ или $$6$$.

Ответ

Остаток от деления $$m^3$$ на $$7$$ может быть только $$0$$, $$1$$ или $$6$$.