Упр.47.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.17. Докажите, что квадрат нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1.

Любое нечётное число при делении на $$8$$ даёт один из остатков $$1, 3, 5, 7$$. Поэтому его можно записать в одном из видов:

$$n=8k+1,\quad n=8k+3,\quad n=8k+5,\quad n=8k+7,$$

где $$k$$ — целое число.

Рассмотрим квадраты этих чисел:

$$ (8k+1)^2=64k^2+16k+1=8(8k^2+2k)+1, $$

значит, $$n^2 \equiv 1 \pmod{8}$$.

Аналогично:

$$ (8k+3)^2=64k^2+48k+9=8(8k^2+6k+1)+1, $$

$$ (8k+5)^2=64k^2+80k+25=8(8k^2+10k+3)+1, $$

$$ (8k+7)^2=64k^2+112k+49=8(8k^2+14k+6)+1. $$

Во всех случаях квадрат нечётного числа при делении на $$8$$ даёт остаток $$1$$.

Ответ

Квадрат любого нечётного числа при делении на $$8$$ даёт остаток $$1$$.