Упр.47.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.16. Докажите, что квадрат целого числа при делении на 4 даёт в остатке 0 или 1.

Любое целое число при делении на $$4$$ даёт один из четырёх остатков: $$0, 1, 2, 3$$. Рассмотрим все возможные случаи.

$$ n \equiv 0 \pmod{4} \Rightarrow n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{4}; $$
$$ n \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{4}; $$
$$ n \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 0 \pmod{4}; $$
$$ n \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow n^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod{4}. $$

Во всех случаях квадрат целого числа при делении на $$4$$ даёт остаток $$0$$ или $$1$$.

Ответ

Квадрат любого целого числа при делении на $$4$$ даёт остаток $$0$$ или $$1$$.