Упр.47.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.15. Докажите, что квадрат целого числа при делении на 3 даёт в остатке 0 или 1.

При делении целого числа на 3 возможны только три остатка: $$0,\ 1,\ 2.$$

Пусть $$n$$ — целое число. Тогда рассмотрим все возможные случаи:

$$ n \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}; $$
$$ n \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}; $$
$$ n \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}. $$

Значит, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать только остаток $$0$$ или $$1$$.

Ответ

Квадрат целого числа при делении на 3 даёт в остатке $$0$$ или $$1$$.