Упр.47.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 47.10. Существует ли такое число х, которое при делении: 1) на 30 и 18 даёт соответственно остатки 13 и 5; 2) на 4 и 5 даёт соответственно остатки 3 и 4?

1. Пусть $$x$$ при делении на $$30$$ даёт остаток $$13$$, а при делении на $$18$$ — остаток $$5$$. Тогда
   $$x=30m+13,$$
   $$x=18n+5,$$
   где $$m$$ и $$n$$ — целые числа.
   Приравняем:
   $$ 30m+13=18n+5 $$
   $$ 30m-18n=-8 $$
   $$ 15m-9n=-4. $$
   Левая часть делится на $$3$$, значит и правая должна делиться на $$3$$. Но число $$-4$$ на $$3$$ не делится. Следовательно, такого числа $$x$$ не существует.
2. Пусть $$x$$ при делении на $$4$$ даёт остаток $$3$$, а при делении на $$5$$ — остаток $$4$$. Тогда
   $$x=4m+3,$$
   $$x=5n+4,$$
   где $$m$$ и $$n$$ — целые числа.
   Приравняем:
   $$ 4m+3=5n+4 $$
   $$ 4m=5n+1. $$
   Подставим $$n=3$$:
   $$ 4m=5\cdot 3+1=16, $$
   откуда $$m=4$$. Тогда
   $$ x=4\cdot 4+3=19. $$
   Проверка:
   $$19:4=4$$ (остаток $$3$$), $$19:5=3$$ (остаток $$4$$).
   Значит, такое число существует.

Ответ

1) нет; 2) да, $$x=19$$.