Упр.46.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 9x^2-y^2=6; 3) x^2+xy-6y^2=6;
2) x^2+2xy=2x+9; 4) x^2-2xy-3y^2+x+y=14.

1. $$9x^2-y^2=6$$
   
   $$ (3x-y)(3x+y)=6 $$
   Разложим число $$6$$ на пары целых множителей:
   $$6=1\cdot 6=2\cdot 3$$
   Тогда возможны системы:
   $$\begin{cases} 3x-y=1\\ 3x+y=6 \end{cases} \quad \begin{cases} 3x-y=2\\ 3x+y=3 \end{cases} \quad \begin{cases} 3x-y=3\\ 3x+y=2 \end{cases} \quad \begin{cases} 3x-y=6\\ 3x+y=1 \end{cases}$$
   Во всех случаях получаем $$x=\frac{5}{6}$$ или $$x=\frac{7}{6}$$, то есть целых решений нет.
2. $$x^2+2xy=2x+9$$
   
   $$x(x+2y-2)=9$$
   Так как $$x$$ и $$x+2y-2$$ — целые числа, рассмотрим разложения числа $$9$$:
   $$9=1\cdot 9=3\cdot 3=(-1)\cdot(-9)=(-3)\cdot(-3)$$
   Получаем:
   $$\begin{cases} x=1\\ x+2y-2=9 \end{cases} \Rightarrow y=5$$
   $$\begin{cases} x=3\\ x+2y-2=3 \end{cases} \Rightarrow y=1$$
   $$\begin{cases} x=9\\ x+2y-2=1 \end{cases} \Rightarrow y=-3$$
   $$\begin{cases} x=-1\\ x+2y-2=-9 \end{cases} \Rightarrow y=-3$$
   $$\begin{cases} x=-3\\ x+2y-2=-3 \end{cases} \Rightarrow y=1$$
   $$\begin{cases} x=-9\\ x+2y-2=-1 \end{cases} \Rightarrow y=5$$
3. $$x^2+xy-6y^2=6$$
   
   $$ (x-2y)(x+3y)=6 $$
   Рассмотрим разложения числа $$6$$:
   $$6=1\cdot 6=2\cdot 3=(-1)\cdot(-6)=(-2)\cdot(-3)$$
   Тогда:
   $$\begin{cases} x-2y=1\\ x+3y=6 \end{cases} \Rightarrow y=1,\ x=3$$
   $$\begin{cases} x-2y=6\\ x+3y=1 \end{cases} \Rightarrow y=-1,\ x=4$$
   $$\begin{cases} x-2y=2\\ x+3y=3 \end{cases} \Rightarrow y=\frac{1}{5}\notin \mathbb{Z}$$
   $$\begin{cases} x-2y=3\\ x+3y=2 \end{cases} \Rightarrow y=-\frac{1}{5}\notin \mathbb{Z}$$
   Аналогично для отрицательных разложений получаем ещё:
   $$(-4;1),\ (-3;-1)$$
4. $$x^2-2xy-3y^2+x+y=14$$
   
   $$ (x+y)(x-3y)+(x+y)=14 $$
   $$ (x+y)(x-3y+1)=14 $$
   Обозначим:
   $$a=x+y,\quad b=x-3y+1$$
   Тогда
   $$ab=14$$
   Рассмотрим пары целых множителей числа $$14$$:
   $$14=1\cdot 14=2\cdot 7=(-1)\cdot(-14)=(-2)\cdot(-7)$$
   Получаем:
   $$\begin{cases} x+y=1\\ x-3y+1=14 \end{cases} \Rightarrow x=4,\ y=-3$$
   $$\begin{cases} x+y=2\\ x-3y+1=7 \end{cases} \Rightarrow x=3,\ y=-1$$
   $$\begin{cases} x+y=14\\ x-3y+1=1 \end{cases} \Rightarrow x=11,\ y=3$$
   $$\begin{cases} x+y=-1\\ x-3y+1=-14 \end{cases} \Rightarrow x=-6,\ y=-1$$
   $$\begin{cases} x+y=-2\\ x-3y+1=-7 \end{cases} \Rightarrow x=-3,\ y=1$$
   $$\begin{cases} x+y=-14\\ x-3y+1=-1 \end{cases} \Rightarrow x=-11,\ y=-3$$

Ответ

1) решений нет;
2) $$(1;5),\ (3;1),\ (9;-3),\ (-1;-3),\ (-3;1),\ (-9;5)$$;
3) $$(4;-1),\ (-4;1),\ (3;1),\ (-3;-1)$$;
4) $$(3;-1),\ (11;3),\ (-6;-1),\ (-11;-3),\ (4;-3),\ (-3;1)$$