Упр.46.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 46.8. Числа m, n и k таковы, что (m-n)?k и mn?k. Докажите, что (m^3+n^3)?k.

Разложим сумму кубов на множители:

$$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2).$$

Преобразуем второй множитель:

$$m^2-mn+n^2=(m-n)^2+mn.$$

Тогда

$$m^3+n^3=(m+n)\bigl((m-n)^2+mn\bigr).$$

По условию $$m-n:k$$ и $$mn:k$$, значит и сумма $$ (m-n)^2+mn $$ делится на $$k$$, так как $$ (m-n)^2 $$ тоже делится на $$k$$.

Следовательно, произведение $$ (m+n)\bigl((m-n)^2+mn\bigr) $$ делится на $$k$$, то есть

$$m^3+n^3:k.$$

Ответ

$$m^3+n^3:k.$$