Упр.46.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Числа $$m$$, $$n$$ и $$k$$ таковы, что $$(m-n)?k$$ и $$mn?k$$. Докажите, что $$(m^3+n^3)?k$$.

Разложим сумму кубов на множители:

$$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2).$$

Преобразуем второй множитель:

$$m^2-mn+n^2=(m-n)^2+mn.$$

Тогда

$$m^3+n^3=(m+n)\bigl((m-n)^2+mn\bigr).$$

По условию $$m-n:k$$ и $$mn:k$$, значит и сумма $$(m-n)^2+mn$$ делится на $$k$$. Следовательно, произведение

$$(m+n)\bigl((m-n)^2+mn\bigr)$$

тоже делится на $$k$$.

Значит, $$m^3+n^3:k$$.

Ответ

$$m^3+n^3:k$$.