Упр.46.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 46.7. Числа х, у и z таковы, что xz?(z-y). Докажите, что xy?(z-y).

Пусть $$xz$$ делится на $$z-y$$. Тогда существует целое число $$k$$ такое, что

$$xz=(z-y)k.$$

Раскроем скобки:

$$xz=zk-yk.$$

Перенесём слагаемые с $$y$$ в одну сторону:

$$yk=zk-xz=z(k-x).$$

Отсюда

$$y=\frac{z(k-x)}{k}.$$

Теперь найдём произведение $$xy$$:

$$xy=x\cdot \frac{z(k-x)}{k}=\frac{xz(k-x)}{k}.$$

Так как $$xz=(z-y)k$$, получаем

$$xy=\frac{(z-y)k(k-x)}{k}=(z-y)(k-x).$$

Значит, $$xy$$ делится на $$z-y$$.

Ответ

$$xy$$ делится на $$z-y$$.