Упр.46 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 46. При каких значениях а возможно равенство cos(x)=a^2-3?

Так как для любого значения $$x$$ выполняется неравенство

$$-1 \le \cos x \le 1,$$

то должно быть

$$-1 \le a^2 — 3 \le 1.$$

Решим двойное неравенство:

$$-1 \le a^2 — 3 \le 1$$

$$2 \le a^2 \le 4.$$

Из неравенства $$a^2 \ge 2$$ получаем

$$a \le -\sqrt{2} \quad \text{или} \quad a \ge \sqrt{2}.$$

Из неравенства $$a^2 \le 4$$ следует

$$-2 \le a \le 2.$$

Пересекаем полученные промежутки:

$$a \in [-2;-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2};2].$$

Ответ

$$a \in [-2;-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2};2].$$