Упр.46.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 46.24. Дан многочлен Р(х) с целыми коэффициентами. Разные числа а, b и с таковы, что P(a)=P(b)=P(c)=-1. Докажите, что не существует такого x_0?Z, что P(x_0)=0.

Подробный ответ

Предположим, что существует целое число $$x_0$$ такое, что $$P(x_0)=0$$.

Так как $$P(a)=P(b)=P(c)=-1$$, то

$$ P(a)-P(x_0)=-1,\quad P(b)-P(x_0)=-1,\quad P(c)-P(x_0)=-1. $$

Поскольку многочлен $$P(x)$$ имеет целые коэффициенты, разность $$P(t)-P(x_0)$$ делится на $$t-x_0$$ при любом целом $$t$$. Значит, числа

$$ \frac{P(a)-P(x_0)}{a-x_0},\quad \frac{P(b)-P(x_0)}{b-x_0},\quad \frac{P(c)-P(x_0)}{c-x_0} $$

являются целыми. Подставляя найденные значения, получаем:

$$ \frac{-1}{a-x_0}\in \mathbb{Z},\quad \frac{-1}{b-x_0}\in \mathbb{Z},\quad \frac{-1}{c-x_0}\in \mathbb{Z}. $$

Следовательно, числа $$a-x_0$$, $$b-x_0$$ и $$c-x_0$$ — делители числа $$1$$, то есть каждое из них равно $$1$$ или $$-1$$.

Но тогда три различных числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ могут отличаться от одного и того же числа $$x_0$$ только на $$1$$ или $$-1$$, что невозможно: таких значений всего два.

Противоречие. Значит, целого числа $$x_0$$, для которого $$P(x_0)=0$$, не существует.