Упр.46.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 46.23. Дано 19-значное число, десятичная запись которого не содержит нулей. Докажите, что в записи этого числа можно зачеркнуть несколько цифр так, чтобы число, полученное в результате, было кратным числу 111.

Рассмотрим 19-значное число, в записи которого нет нулей. Тогда все его цифры принадлежат множеству $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.$$

Всего различных цифр только 9, а цифр в числе 19. Значит, по принципу Дирихле хотя бы одна цифра встречается не менее $$\left\lceil \frac{19}{9} \right\rceil = 3$$ раз.

Зачеркнём все остальные цифры, кроме трёх одинаковых. Тогда получится число вида $$aaa,$$ где $$a$$ — одна и та же ненулевая цифра.

Такое число делится на $$111,$$ потому что

$$aaa = a \cdot 111.$$

Следовательно, из данного числа можно зачеркнуть несколько цифр так, чтобы оставшееся число было кратным $$111.$$

Ответ

Можно оставить три одинаковые цифры; полученное число вида $$aaa$$ делится на $$111.$$