Упр.46.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 46.22. Докажите, что количество делителей квадрата натурального числа — число нечётное. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Пусть дано натуральное число $$n$$. Рассмотрим его квадрат $$n^2$$.

Если $$d$$ — делитель числа $$n^2$$, то ему соответствует парный делитель $$\frac{n^2}{d}$$. Эти делители образуют пары вида

$$ \left(d;\frac{n^2}{d}\right), $$

причём в каждой паре числа различны, кроме случая

$$ d=\frac{n^2}{d}. $$

Из этого равенства получаем

$$ d^2=n^2,\qquad d=n $$

так как $$d$$ и $$n$$ — натуральные числа. Значит, у числа $$n^2$$ есть один непарный делитель $$n$$, а все остальные делители разбиваются на пары. Следовательно, количество делителей числа $$n^2$$ нечётно.

Обратное утверждение: если натуральное число имеет нечётное количество делителей, то оно является квадратом натурального числа.

Докажем это. Пусть число $$m$$ имеет нечётное количество делителей. Тогда все его делители можно разбить на пары

$$ \left(d;\frac{m}{d}\right). $$

Так как число делителей нечётно, одна из пар не имеет второго различного элемента, то есть

$$ d=\frac{m}{d}. $$

Отсюда

$$ d^2=m. $$

Значит, $$m$$ — квадрат натурального числа.

Ответ

Количество делителей квадрата натурального числа нечётно. Обратное утверждение верно: если натуральное число имеет нечётное количество делителей, то оно является квадратом натурального числа.