Упр.46.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 46.20. Трёхзначное число abc кратно числу 37. Докажите, что сумма чисел bca и cab также кратна числу 37.

Запишем трёхзначные числа через цифры:

$$\overline{abc}=100a+10b+c,$$

$$\overline{bca}=100b+10c+a,$$

$$\overline{cab}=100c+10a+b.$$

Тогда их сумма равна

$$ \overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab} =(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b) =111(a+b+c). $$

Следовательно,

$$ \overline{bca}+\overline{cab} =111(a+b+c)-\overline{abc}. $$

Так как число $$\overline{abc}$$ кратно $$37$$, а

$$111=3\cdot 37,$$

то число $$111(a+b+c)$$ также кратно $$37$$. Разность двух чисел, кратных $$37$$, тоже кратна $$37$$, значит, $$\overline{bca}+\overline{cab}$$ кратно $$37$$.

Ответ

$$\overline{bca}+\overline{cab}$$ кратно $$37$$.