Упр.46 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ возможно равенство $$\cos(x)=a^2-3$$?

Так как для любого $$x$$ выполняется неравенство $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то должно быть

$$-1 \le a^2-3 \le 1.$$

Решим двойное неравенство:

$$\begin{aligned} -1 \le a^2-3 &\le 1 \\ 2 \le a^2 &\le 4. \end{aligned}$$

Отсюда

$$a^2 \ge 2 \quad \text{и} \quad a^2 \le 4,$$

то есть

$$a \in [-2;-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2};2].$$

Ответ

$$a \in [-2;-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2};2].$$